3次元）ポアンカレ予想（Poincaré conjecture）とは、
1904年にフランスの数学者アンリ・ポアンカレによって提出された。以来ほぼ100年に亙り未解決だったが、2002年から2003年に掛けてロシア人数学者グリゴリー・ペレルマンはこれを証明したとする複数の論文をarXivに掲載した。これらの論文について2006年の夏頃まで複数の数学者チームによる検証が行われた結果、現在では彼が実際に証明に成功したと考えられている。ペレルマンはこの業績によって2006年のフィールズ賞を受賞した（ただし本人は受賞を辞退した）。
ポアンカレ予想は一般化（高次元に拡張）できる。それは次のようなものである。
n次元ホモトピー球面はn次元球面に同相である
このようにポアンカレ予想をn次元に一般化するとn=2での成立は古典的な事実であり、n?4の場合は既に証明が得られている。n?5の時はスティーヴン・スメイルによって（1960年）、n=4の時はマイケル・フリードマンによって（1981年）証明された。両人とも、その業績からフィールズ賞を受賞している。スメイルの証明は微分位相幾何学的なものであったが、フリードマンの証明は純粋に位相幾何学的なものである。実際、フリードマンの結果はその直後にドナルドソンによる異種4次元ユークリッド空間（位相的には通常の4次元空間だが、微分構造が異なるもの）の発見へとつながった。以上よりオリジナルである3次元ポアンカレ予想のみを残し、高次元ポアンカレ予想は先に決着してしまった（もっとも、微分同相については4次元ポアンカレ予想も未解決と言われる）。
数学的に厳密ではないが、たとえて言えば、宇宙の中の任意の一点から長いロープを結んだロケットが宇宙を一周して戻ってきて、ロープの両端を引っ張ってロープを全て回収できた場合、宇宙の形は概ね球体（＝ドーナツ型のような穴のある形、ではない）と言えるのか、という問題である。
3次元ポアンカレ予想についてウィリアム・サーストンの幾何化予想（サーストンのプログラム）があり、これは3次元多様体の分類に関するものである。この予想は3次元ポアンカレ予想を含み、大変壮大なものである。
2002年から2003年にかけて当時ステクロフ数学研究所に勤務していたロシア人数学者グリゴリー・ペレルマンはポアンカレ予想を証明したと主張し、論文をプレプリント投稿サイトとして著名なarXivにて公表した。その中で彼はリチャード・ストレイト・ハミルトンが創始したRicci flowの理論に「手術」と呼ぶ新たな手法を付け加えて拡張し、驚くべきことにサーストンの幾何化予想を解決してその系としてポアンカレ予想を解決した（と宣言した）。
非常に単純に言えば、幾何化予想とは、多様体を８つのピースに分割し、そのピース毎に幾何的性質を調べるというものである。一方で、リッチフロー (Ricci flow) を用いたときに、ピースから全体を構成しなおすときに特異点が発生する可能性がある。ペレルマンはこの特異点の発生条件と特異点の性質を調べ、特異点が発生しないような手法を考えた。それが「手術」といわれる方法である。
それ以来ペレルマン論文に対する検証が複数の数学者チームによって試みられた。原論文が理論的に難解でありかつ細部を省略していたため検証作業は難航したが、2006年5?7月にかけて3つの数学者チームによる報告論文が出揃った。
Bruce Kleiner and John Lott, Notes on Perelman's Papers（2006年5月）：ペレルマンによる幾何化予想についての証明の細部を解明・補足
朱熹平（広東・中山大学）と曹懐東（米ペンシルベニア州リーハイ大学）、"A Complete Proof of the Poincaré and Geometrization Conjectures - application of the Hamilton-Perelman theory of the Ricci flow"（2006年7月、改訂版2006年12月）：ハミルトンとペレルマンによる幾何化予想とポアンカレ予想の証明について
John Morgan and Gang Tian Ricci Flow and the Poincaré Conjecture（2006年7月）：ペレルマン論文をポアンカレ予想に関わる部分のみに絞って詳細に解明・補足
これらのチームは何れもペレルマン論文は基本的に正しく致命的誤りは無かったこと、また細部のギャップについてもペレルマンの手法によって修正可能であったという結論で一致した。これらのことから、現在では少なくともポアンカレ予想についてはペレルマンにより解決されたと考えられている。
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殆どの数学者がトポロジーを使ってポアンカレ予想を解こうとしたのに対し、ペレルマンは微分幾何学と物理学の手法を使って解いてみせた。そのため、解の説明を求められてアメリカの壇上に立ったペレルマンの解説を聞いた数学者達は、「まず、ポアンカレ予想を解かれた事に落胆し、それがトポロジーではなく微分幾何学を使って解かれた事に落胆し、そして、その解の解説が全く理解できない事に落胆した」という。[1]なお、証明には熱量・エントロピーなどの物理的な用語が登場する。
2006年8月22日、スペインのマドリードで催された国際数学者会議の開会式においてペレルマンに対しフィールズ賞が授与された。ただし、本人はこれを辞退した。その直前にステクロフ数学研究所を退職しており、その後は無職の状態である。人付き合いを嫌い、サンクトペテルブルグの実家で僅かな貯金と母親の年金で生活していると言われる。
2006年12月22日、アメリカの科学誌「サイエンス」で科学的成果の年間トップ10が発表され、その第1位に「ポアンカレ予想の解決」が選ばれた